Hierbij gaat het niet om
het berekenen van kansen maar om het AANTAL MOGELIJKHEDEN.
De volgorde is
van belang. Het gaat er hierbij om dat een RIJ van k verschillende dingen wordt
gevormd waarbij uit n dingen kan worden gekozen.
formule:
Als alle dingen moeten
worden gekozen, staat er met de formule: n!
De volgorde is hier
niet van belang. Het gaat er hierbij om dat een GROEPJE van k
verschillende dingen wordt gevormd, waarbij uit k dingen kan worden
gekozen.
formule:
voorbeeld:
Een
groep cursisten bestaat uit 12 leerlingen van 19 jaar, 4 van 20 en 6 van 21
jaar. Op hoeveel manieren kan een leerlingenvertegenwoordiging van 3 stuks
worden gevormd als
oplossing:
De volgorde waarin de ll
worden gekozen is niet van belang (Piet, Jan, Klaas geeft dezelfde
leerling-vertegenwoordiging als Klaas, Jan, Piet) Het gaat hier dus om
combinaties:
= 22 nCr 3 =
1540
= 288
= 220In
het algemeen kun je zeggen dat de kans op een gebeurtenis G
is: het aantal gunstige mogelijkheden gedeeld door het totaal aantal mogelijkheden.
opdracht
bij het gebruik van bovenstaande formule: Hoe groot is de kans dat uit bovenstaande klas
bij een willekeurige 'trekking' van de drie leerlingen alle drie 19 jaar
zijn?
oplossing:
aantal gunstige (dus 3 19-jarigen) is 220 (zie c). Het totaal aantal
manieren om 3 uit 22 te trekken is 1540 (zie a), de gevraagde kans is dus
220/1540 = 0,1429
opdracht:
Hoe groot is de kans dat minstens 2 ll jonger dan 21 zijn?
oplossing:
er zijn 2 mogelijkheden. nl precies 2 zijn jonger en de derde
is 21, of precies 3 ll zijn jonger. Die twee kansen moeten we
optellen omdat er 'of' staat. Dus:
=0,8312
De kansverdeling van
een stochast
Als we een experiment, bv
het kiezen van een leerling-vertegenwoordiging, doen en we tellen iets bepaalds,
bv het aantal 19-jarigen in een vertegenwoordiging, dan kunnen we spreken van
een stochast en de kansverdeling van die stochast
opstellen:
We maken dan een tabel
waar de mogelijke waarden van X in staan, en berekenen de kans dat X die waarde
aanneemt: kansverdeling van X:
|
x |
|
|
|
|
|
|
P(X=x) |
|
|
|
|
|
voorbeeld.
Uit bovenstaande klas trekken we een ll-vertegenwoordiging van 3 ll en tellen
het aantal 19-jarigen in elke trekking. X is het aantal 19-jarigen in elke
trekking, en X kan dus waarden 0, 1, 2 of 3 aannemen.
P(X=0)=P(géén 19-jarigen,
dus 3 kiezen uit de overige 10) = 120 / 1540 = 0,078
P(X=1)=P(één van 19 en 2
van de rest) = 540 / 1540 = 0,351
P(X=2) = P(twee van 19 en
1 oudere) = 660 / 1540 = 0,429
P(X=3) = P(drie van 19
jaar) = 220 / 1540 = 0,143
de kansverdeling is dus
als volgt:
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
controle |
|
P(X=x) |
0,078 |
0,351 |
0,429 |
0,143 |
1 |
We kunnen hiermee ook
berekenen wat de verwachting en de standaardafwijking van X zullen
zijn.
E(X) = åx . P(X=x), tel op alle 'x' maal 'de kans op
x' of doe het met de rekenmachine: bv met de TI: stat edit, en zet bij L1 de
waarden van x, en bij L2 de kansen. Kies dan voor stat, calc, 1-var stat
L1,L2. je kunt nu het gemiddelde en
de standaardafwijking aflezen.
In bovenstaand voorbeeld
geldt dat E(x) = 1,64 en sigma = 0,82
Dit treedt op als een
experiment n maal herhaald wordt, waarbij de kans op 'succes' steeds constant p
is. Bv bij een trekking mét teruglegging. Doordat het getrokken
ding steeds wordt teruggelegd blijft de kans op succes elk experiment dezelfde.
In bovenstaande voorbeelden werd de gekozen leerling niet
teruggelegd: een ll kon maar 1 maal worden gekozen. Geen binomiale verdeling
dus.
Als X een
binomiaalverdeelde stochast is, dan geldt: de verwachting E(X) = n p en de
standaardafwijking= Ö(npq).
Met
formule: Dit is vooral handig als gevraagd wordt naar de kans op
precies k successen:
q is hierbij de kans op
een mislukking, dus q = 1 - p
vb. Schutter Jan schiet
doorgaans 3 op de 10 keer precies in de roos. Hij doet mee in een wedstrijd waar
hij 15 schoten moet lossen. Hoe groot is de kans dat hij precies 10 keer de roos
mist? ( en dus 5 keer raak schiet). n = 20, p = 3/10 = 0,3 dus P(X=5) = 3003 .
0,35. 0.710 = 0,21
Met GR:
Dit kan alleen voor
kansen van de vorm P(X=x) en P(X£
x ). Voor P(X=x) gebruik je
Dist, binompdf(n,p,x) ( of voor de casio Stat, Dist, Binom, Bpd ) .
De kans op precies 5
successen is : P(X=5) = binompdf(15,0.3,5) = 0,20613
Voor P(X£ k) gebruik je binomcdf ( of Bcd bij de
Casio)
Ook andere kansen kunnen
hiermee worden berekend want (neem n=10 en p = 0,4)
De kans dat er minder dan
6 successen zijn is : P(X<6) = P(X£5) = binoncdf(10 , 0.4 , 5) =
0,8338
De kans op meer dan 7
successen ( dus 8, 9 of 10 successen) is alles (kans 1) min de kans op 0 t/m 7
successen : P(X>7) = 1 - P(X£
7) = 1 – binomcdf(10 , 0.4 , 7) =
0,01229
Met een normale
benadering. Gevallen waarbij n te groot is voor de rekenmachine kunnen
worden opgelost door een normale verdeling te gebruiken. In de notatie X
£ k moet een
continuiteitscorrectie van +1/2 worden gebruikt: P(X£790, n=1700 p=0,48) geeft een normale
stochast Y met m= n p = 1700.
0,48 = 816 en s=Ö (npq) = Ö(1700 . 0,48 . 0,52) =
20,6
P(X £790) = P(Y £790,5) = normalcdf(-10^99, 790.5, 816, 20.6)
= 0,1079
Als een groep
waarnemingsgetallen een klokvormig frequentiepolygoon oplevert, is er sprake van
een normale verdeling. Met waarschijnlijkheidspapier kunnen we er achter komen
of een stochast werkelijk normaal verdeeld is. Daartoe tekenen we op dit papier
een grafiek van de relatieve cumulatieve frequentie (
denk er om dat de eindpunten van elke klasse genomen moet worden) Als
de grafiek een rechte lijn is, dan is de verdeling normaal. De karakteristieken
van deze verdeling zijn:
Het gemiddelde = de
verwachting = E(Y) = m te vinden
bij 50 %
De standaardafwijking is
te vinden door bij 84 % te kijken , men vindt daar m+ s
Voor de normale verdeling
hebben we op de TI de volgende opties tot onze beschikking: normalcdf(
ondergrens, bovengrens, mu en sigma) en invnorm( linkergebied, mu, sigma) Bij de
Casio is dat Ncd en invnorm.
Voor een uitvoerige uitleg
hoe de casio en de TI gebruikt moeten worden, kun je kijken bij de havo,
lesmateriaal, normale verdeling voor casio/TI.
vb. Een machine windt
garen op klosjes. Gemiddeld zit er 120 m garen op een klosje, met een
standaardafwijking van 4 m. hoe groot is de kans dat op een willekeurig klosje
minder dan 110 m zit ?
P(Y £110) = normalcdf(-10^99,110,120,4) =
0,0062 LET OP bij de Casio staat mu
en sigma in omgekeerde volgorde.
Hoe groot is de kans op
een klosje van minstens 125 meter?
( > of ³ maakt bij een continue verdeling niet
uit)
P(Y> 125) = normalcdf(
125,10^99,120,4) = 0,1056
De kans op een klosje met
niet meer dan m meter blijkt 0,17 te zijn. Bereken m.
Invnorm(0.17, 120,4) = 116,2 m=116,2
Let op: Als het
rechtergebied gegeven is, moet men eerst het linkergebied uitrekenen. Invnorm
MOET met het linkergebied.
Om het gemiddelde en de
standaardafwijking te berekenen wanneer de kans en de grens bekend zijn, kan
men, afhankelijk van de rekenmachine hetvolgende doen:
Stel dat gegeven is dat de
10% kortste klosjes horen bij klosjes van 109 m en korter, met een
standaardafwijking van 3 meter. Bepaal de gemiddelde lengte van een
klosje:
Voor de
TI:
Normalcdf(-10^99, 109 , x
, 3) bij Y1 invoeren.
0,1 ( 10% kortste) invoeren bij Y2. window [0,200]x [0,1] ( de x
is het gemiddelde, en die ligt in de buurt van de 100, dus 0 tot 200 is zeker
voldoende, de y is de kans, en die zit zeker tussen 0 en 1)
Bepaal met intersect de
waarde van x…… gemiddelde is
112,8
Bij het berekenen van een
onbekende standaardafwijking doe je net zoiets… dan vul je x bij de
standaardafwijking in, en kies je een window waarbij voor de x een interval
staat die geschikte waarde voor de standaardafwijking bevat. De y-window blijft
[0,1]
Voor de Casio gaat het
iets anders:
Vul bij Y1 het volgende
in: Y1 = P( (grens – mu) / sigma ) dus hier P((109 – x)/3) en Y2 = 0.1 Bij de casio MOET hier gebruik worden
gemaakt van een oppervlakte aan de linkerkant, anders moet eerst de linkerkant
worden uitgerekend. De P is bij de casio te vinden door in het grafiekscherm te
kiezen voor Option, prop, -> ,
P(
Net als bij de TI bepaald
men de window, en gebruikt intersect om de mu ( of anders de sigma) uit te
rekenen.
Er zijn nog wat
vuistregels:
Links van het gemiddelde
ligt 50 % : P (Y<m ) =
0,5
Links van m+s
ligt 84 % P (Y< m +
s ) = 0,84
Tussen m - s en m +s ligt 67 %
P( m - s< Y < m+ s) = 0,6667
Tussen m- 2 s en m+ 2s ligt 95 % P( m- 2s< Y <m+2 s) = 0,95
Als je twee (of meer)
onafhankelijke stochasten bij elkaar optelt (of aftrekt), krijg je een nieuwe
stochast.
Dan geldt:
E(Xtotaal ) = E(X1)+ E(X2) en stotaal2 = s12 +s 22
E(X verschil) =
E(X1) - E(X2) en s verschil 2 =
s12
+s
22
Als je n identieke
onafhankelijke stochasten optelt krijg je een nieuwe
stochast.
Dan geldt:
E(Xtotaal ) = n . E(X) en s totaal = s2 .Ön
Het gemiddelde van n
identieke onafhankelijke stochasten is weer een normale
stochast.
Dan geldt:
E(Xgemiddeld ) = E(X) en sgemiddeld = s / Ön
Voorbeeld:
Wanneer men twee van
bovenstaande klosjes aan elkaar knoopt, geldt m= 240 en de standaardafwijking 4 .Ö2
Wanneer men het gemiddelde
neemt van 10 klosjes geldt
m= 120 en de
standaardafwijking 4 / Ö10
IV HYPERGEOMETRISCHE
KANSVERDELING
Hiervan is sprake als geselecteerd wordt
zonder dit gekozen ding terug te leggen. Het
voorbeeld van de leerlingen vertegenwoordigers is hier dus van toepassing. We
tellen het aantal successen k bij een een herhaald aantal
experimenten waarbij steeds wordt gekozen uit N dingen waarvan aan het begin A
goed zijn en N-A verkeerd.
Voor de verwachting en de
standaardafwijking van deze verdelingen geldt:
de verwachting E(X) = n p
, waarbij p de kans op succes is bij de eerste trek ( p = A/N ).
De standaardafwijking kan
alleen berekend worden op de algemene manier, door dus door de kansverdeling op
te stellen en dan met de statistiekopties op de rekenmachine sigma
berekenen.